作家：Anders Kock（安德烈亚斯·科克，丹麦奥胡斯大学）2023-6-30

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-3

弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere）是20世纪末于今最有影响力的东谈主物之一，因为他通过雠校界限论器具来协谐和简化数学。本文尝试描摹这一流程中的一些里程碑和愿景。

1 连气儿统物理（Continuum physics，即连气儿介质物理）

劳维尔出身于1937年2月，是印第安纳州芒西的一个农民的犬子。他在印第安纳大学学习物理学，很快就认为推理需要遴荐更多可用的以及更明确的基础，尤其是在连气儿统（连气儿介质）物理学中。他在印第安纳州是施普林格期刊《感性力学与分析档案 Archive for Rational Mechanics and Analysis》创始东谈主克利福德·特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）的学生。特鲁斯德尔也有近似的基础议程。劳维尔此时也曾看到了界限论递次的必要性。第一步是为了终了“界限能源学 categorical dynamics”（其中一些在1960年代末终了）。要津的一步是他对函数空间酿成的界限论表述，用到了通用性（跟随函子 adjoint functor）：笛卡尔闭界限（Cartesian closed categories）。

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F.威廉·劳维尔，布拉加，2007年3月

特拉斯德尔暗里筹议了艾伦伯格，以促使劳维尔四肢艾伦伯格的博士生干涉哥伦比亚大学（1960-63），其中1961-63年有一次中断，那时劳维尔去了加利福尼亚，从众人塔斯基（Tarski），斯科特（Scott）等那边学习更多的聚合论和逻辑。在加州时期，劳维尔完成了他（在哥伦比亚大学）对于代数表面的函子语义学的博士论文，其中至极是代数表面的见解所以无默示的方式给出的。

2 聚合的界限

对于劳维尔本东谈主来说，他寻找可用和可教的数学基础的转变点，是1963-64年在俄勒冈乡镇德学院担任助理教悔。2007年在布拉加 （葡萄牙）玛丽亚·曼努埃尔·克莱门蒂诺（Maria Manuel Clementino）和乔治·皮卡多（Jorge Picado）对劳维尔进行的繁密采访中[2]，劳维尔说：

在里德，我被指示，微积分的第一年应该专注于基础，第二年教公式。因此[...]我花了几个星期的准备时刻试图想象基于ZF（策梅洛-弗兰克尔，Zermelo–Fraenkel）聚合论的微积分课程。关联词，安祥评估之后发现，从荫藏微分和积分的蕴蓄端倪结构中，界说层数太多，而无法在一年内完成这些端倪。康托尔无结构聚合的界限结构似乎既肤浅又接近。因此，聚合界限的基本表面产生于隧谈的实践培植需要。

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F. W.劳维尔， A. Heller， R. Lavendhomme （后排）和A. Carboni在葡萄牙科英布拉的CT99

劳维尔的许大批学建设（见解，构造和定理）是由于烦嚣雠校微积分和工程数学教养的成果，而且这些烦嚣导致他得出论断，数学（即使是微积分课程）的可行基础，不成在ZF中使用x∈y（成员）来表述，但不错证据映射的见解来表述ƒ: A → B（偏执合成）。劳维尔，在2007年布拉加的采访中说[2]:

从玄学上讲，不错说这些发展复旧了，即使在聚合论和初等数学中，正如在高等代数和拓扑学中永远以来所感受到的那样，这亦然正确的，即数学的实践并不存在于实践中，（∈“属于”是不可约的谓词它看起来很像实践），而是存在于风景中（举例由通用映射属性界说，有影响的见解是同构不变结构）。与代数和拓扑学一样，这里用于精准抒发和有用处理这些想法的具体时间机器，是由Eilenberg-Mac Lane的界限论，函子和当然变换表面提供。

在里德学院学习一年后，劳维尔去了苏黎世，1964-66年他在那边考察了贝诺·埃克曼数学研究所。埃克曼凯旋劝诱了多位界限论学家参与。值得顾惜的是，票据（monad）的见解以及它与代数表面和同调性的关系被竖立（见[3]）。

从苏黎世动身，不错参加在德国南部近邻的Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的研讨会。在这里，劳维尔遭逢了彼得·加布里埃尔（Peter Gabriel），并向他学习了格罗滕迪克（Grothendieck）的几何学递次，如SGA4中所述[1]。

3 格罗滕迪克

格罗滕迪克的责任对劳维而其后的责任产生了根人性的影响。他们第一次碰面是在尼斯的ICM（1970年海外数学家大会），他们皆是受邀演讲者。劳维尔在这里公开反对格罗滕迪克在一个单独的演讲中宣传他的“生涯”畅通。

1973年，他们皆来访布法罗（Buffalo）。劳维尔在布拉加的采访中说：

我裸露地铭刻他率领我代数几何的基本观点，如“点具有自同构”。1981年，我去法国南部的一块薰衣草田中他住的石屋看望他，商榷他对一个姿色的看法[...]。我终末一次见他是在1989年的归拢个场所（Aurelio Carboni从米兰开车送我去那边）：他昭着很欢娱见到我，但因为宗教誓词不言语；他在一张纸上写谈，他也被贬抑谋划数学，尽管很快他的数学灵魂凯旋了，留给我一些稀有的数学条记。

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1997年3月在葡萄牙科英布拉讲学

4 界限能源学和概括微分几何

在1967年的大部分时刻里，劳维尔是芝加哥大学的助理教悔。劳维尔在这里运行在高档讲座系列中应用格罗滕迪克的拓扑斯（topos）表面，围绕连气儿介质力学的简化基础问题，灵感来自Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）的公理化。该系列Mac Lane，Jean Bénabou，Eduardo Dubuc等东谈主包括作家（那时正在劳维尔的率领下完成一篇论文）出席了会议。研讨会的至极产出不是统统练习的界限能源学，而是它的能源学基础的想法：对于假设的 “无限小”对象D（愚弄假设空间界限的笛卡尔闭结构），具有可默示的切丛结构T(M) = Mᴰ。这种“能源学”（kinematic）想路的一个方面其后被一些东谈主发展为一个练习的“概括微分几何”（synthetic differential geometry）。

代数几何的贤慧，这是界限能源学中发展的基础，也不错引入并应用在圭臬光滑微分几何；劳维尔使用代数表面（在他1963年论文的真义上），即n元运算是光滑函数ℝⁿ → ℝ的表面，至关热切的是不条目使用生成元和关系默示。

5 初等拓扑斯、代数几何和逻辑

劳维尔于1968-69年回到苏黎世科学研究所（Forschungsinstitut）。此时的他，也曾更降服，拓扑斯不仅四肢界限能源学的配景，而且适用于聚合论和逻辑的见解：布尔值模子，和力迫（如科恩Cohen 1963年对于连气儿统假设的责任）。在布拉加的采访中，他说：

这些昭着统统不同的拓扑斯，触及无限小的畅通和高档逻辑，可能是归拢个肤浅公理表面的一部分，是我 1967 年芝加哥课程的容许。直到我第二次待在科学研究所之后，它才成为现实。1968-69年在瑞士苏黎世的时间，我发现了拓扑斯的幂集函子是研究以基本术语抒发酿成相伴层（associated sheaf）的运算问题的成果，以及1969-1970之后通过我与迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）的合作 [...]。

此次合作发生在哈利法克斯（加拿大）：1969年，劳维尔在哈利法克斯的达尔豪西大学取得了盛名的基拉姆教悔职位，那时被允许邀请十几个合作家（其中包括蒂尔尼），相通得到基拉姆的复旧。这意味着在1969年至1971年时间，达尔豪斯成为一个吵杂的场所；至极是在数学上，初等拓扑斯的见解在这里平静明确结晶。值得顾惜的是，劳维尔组织了SGA4[1]的预印本版块（exposé I-IV）被分发给他的研讨会的参与者（SGA4是阿廷，格罗滕迪克和韦迪尔的 “Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas”，直到1972年才慎重出书）。

关联词，在1971年，达尔豪西的梦之队被罢表现；大学行政部门拆开与劳维尔续约左券，因为他的政事行为抗议越南干戈和反对特鲁多的《战时条例》，以恐怖主义危急为借口暂停民事目田。（但在1995年，达尔豪斯主持了行为庆祝界限论50年，劳维尔有参与）

劳维尔在1971年犹豫哈利法克斯前夜组织的一次会议，有热切的标题：“拓扑斯，代数几何和逻辑“，此次会议的论文集发表于1972年[6].

1971年离开哈利法克斯后，劳维尔成为奥胡斯（丹麦）的客座教悔（1971-72年），以及佩鲁贾（意大利）的客座教悔（1972-73年）。这些年，从哈利法克斯带来的拓扑斯表面的新观点，得到稳重和更平庸传播。另外，1973年劳维尔终末假寓在布法罗（好意思国），以时短时长的拜访停留，与他的欧洲一又友和合作家保抓密切筹议；这包括1980-81年在IHÉS（巴黎）的一年。

咱们在哈利法克斯和其后学习的拓扑斯至极是“gros toposes 大拓扑斯”（如单纯集的拓扑斯），与“petit toposes 小拓扑斯”（如拓扑空间上的层拓扑斯）相对。这是SGA4，IV.4.10中所作的永别。这种区别对劳维尔而言是研究拓扑斯界限的一种输入，即在它们的函子互关系系中的拓扑斯。这些研究是由好多研究东谈主员设备的，并记载在许大批学专著、著述会通议中（有或莫得会议门径）。劳维尔相配积极地参与会议，频繁四肢特邀主讲东谈主；他对取得他的想法的钞票以及愿景以书面风景写下来不太积极。举例，他1967年在芝加哥对于界限能源学的创始性演讲，直到1978年才以书面风景在奥胡斯举行的抓续“灵通日”夏日会议中处理，主题为“几何中的拓扑斯表面递次”[5]。

1982年，劳维尔（与他在布法罗的共事Steve Schanuel史蒂夫·沙努埃尔一齐）在布法罗组织了一次会议，“连气儿介质物理学中的界限”，连气儿介质物理学的好多主要研究东谈主员也参与其中，比如Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）。会议记载中的三篇著述 （发表在[8]) 处理热力学基础问题。

劳维尔于1977年在达勒姆热切的大型夏日会议的科学率领委员会中，其“层的应用” [4]，标记着在数学和物理表面见解化中愚弄相对肤浅的主题的冲突。劳维尔在达勒姆作念了一个对于“热力学基础中的界限”的演讲，关联词，我无法找到书面记载。另一方面，如实筹议于劳维尔在此次会议上的演讲（有浓烈的辩白）的记载，标题是“数学的逻辑”，劳维尔在演讲中说了他对数学玄学和发展的看法。我把它包括在内，因为淌若莫得反应他的政事/玄学生活和责任中失当协的性情，那么劳维尔的讣告是不齐全的：

在这场达勒姆辩白中，劳维尔在演讲运行时说（证据我的条记和顾虑）：

数学是研究空间风景和数目关系的科学。数学的想法是什么？其想法是清醒这种关系，以便四肢东谈主们合作起来处理坐褥战争中的问题（不是数常识题）以及这种战争的负责性（即科学实验）的基础。

在演讲的早期阶段，也曾出现了一位不雅众一个打断性的问题（可能是修辞）说：“坐褥的想法是什么？” 劳维尔想了好眨眼间才恢复：“带你来这里！”

在演讲的后期，劳维尔说：

数学逻辑的想法；清醒和简化学习、使用和数学的发展。[...]辩证的方式：还有一个反想法：拖沓、复杂化和遏抑数学的学习、使用和发展。至极是，通过促进来冻合髻展：斟酌将就一切皆干涉一个先入之见的框架[...]。这两个想法在咱们每个东谈主的内心皆在互相战争。[...]平素，反想法胜过想法。这是因为反想法合乎统帅阶层的利益。这是畴昔100年来发生了强大变化的事情。附近资产阶层的利益反对坐褥力的发展。

6 公理内聚

这不是一个提供（我也无法提供）劳维尔数学和玄学责任的统统方面齐全综述的场所。再提供一些要津词：概率、界限逻辑、缱绻/纤维界限、度量空间四肢充实后的界限，语言学，平庸与密集数目，物理量界限，格拉斯曼，公理内聚。

正如劳维尔2007[7]所讲，公理内聚的想法尤其导致了最近的新发展。

以下是2007年出书物的援用：

需要明确的内聚科学来证明注解能源学数学表面的各式配景模子。这么的科学需要有饱和的阐发力，来证明注解这些配景与其他数学界限有何不同，以及相互之间也不同，但又如斯合作，以致于它们不错互相转动。这种互相诊治的日常例子是天气预告员从有限元递次（不错看作是组合拓扑斯中的分析）到连气儿介质热力学方程（不错看作是光滑函数和漫衍所在的光滑拓扑斯的分析）的应用。

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F. W. 劳维尔与作家在苏黎世Odeon咖啡馆， 1966年秋天

这种内聚公理科学的基础是一串四个函子p!  ⊣  p^*  ⊣  p_*  ⊣  p^! ,字符串中的每个字符串皆与下一个字符串左跟随。此类字符串的示例 在拓扑中很熟悉：

p! 将某空间的取悦组件的聚合关联到（充分好的）该空间，p^* 将聚合上的闹翻空间结构关联到该聚合，P_* 将其点集关联到该空间，终末P^! 将聚合上的协闹翻空间结构关联到该聚合。在拓扑斯界限中，这种字符串的属性组成了上述引文中条目的诸多离别。

劳维尔建议的好多想法中惟有一部分也曾写出来，更不必说发表、成形，但只以种子的风景存在于身边东谈主的想想和条记中。

也许，将来硕果累累的植物将从这些种子中长出来。淌若种子更容易取得，种子的发芽将得到加强。一些竖立此类档案的行为正在开展，至极是在 https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere

对于作家：

安德斯·科克（Anders Kock）是丹麦奥胡斯大学数学系名誉教悔。他于1963年毕业于奥胡斯大学，并于1963-67年在芝加哥和苏黎世的劳维尔率领下攻读博士学位。他于1969-70年在哈利法克斯担任博士后，并于1971-72年在奥胡斯与劳维尔合作。1973年5月、1978年5月、1983年6月，他在奥胡斯组织了为期两周的灵通日研讨会（劳维尔参加了这些研讨会），并从1966年到2018年参加了好多界限表面会议和研讨会。他是几本书的作家，如《Synthetic Differential Geometry 概括微分几何》（剑桥大学出书社，1981年，2006年第2版）和《流形的概括几何》（剑桥大学出书社，2010年）。

参考而已

[1] M. Artin, A. Grothendieck and J. L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie etale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Math. 269, Springer, Berlin (1972)

[2] M. M. Clemetino and J. Picado, Inteview with F. William Lawvere. http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf (2007)

[3] B. Eckmann (ed.), Seminar on triples and categorical homology theory (ETH 1966/67). Lecture Notes in Math. 80, Springer, Berlin (1969)

[4] M. P. Fourman, C. J. Mulvey and D. S. Scott (eds), Applications of sheaves. Proceedings of the research symposium on applications of sheaf theory to logic, algebra and analysis (Durham 1977), Lecture Notes in Math. 753, Springer, Berlin (1979)

[5] A. Kock (ed.), Topos theoretic methods in geometry, Various Publications Series 30, Aarhus University, Aarhus (1979)

[6] F. W. Lawvere (ed.), Toposes, algebraic geometry and logic. Lecture Notes in Math. 274, Springer, Berlin (1972)

[7] F. W. Lawvere, Axiomatic cohesion. Theory Appl. Categ. 19, no. 3, 41–49 (2007)

[8] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel (eds.), Categories in continuum physics. Lecture Notes in Math. 1174, Springer, Berlin (1986)

[9] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel, Conceptual mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (1997) (2nd ed. 2009)

[10] https://euromathsoc.org/magazine/articles/143

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